Действия с комплексными числами

Использование continue в цикле for

В предыдущем разделе мы узнали, как выйти из цикла. Но что, если нужно пропустить одну итерацию цикла и вернуться назад к циклу? Для этого в PHP есть ключевое слово continue.

Вспомним пример вывода нечетных чисел. Все, что мы сделали, это начали цикл с 1, увеличивали счетчик на 2 и выводили результат. Реализуем этот пример, используя continue:

for ($i = 0; $i < 20; $i++) {
if ($i % 2 == 0) {
continue;
}
echo $i . ',';
}

В приведенном выше примере мы проверяем выражение $i%2 == 0, и если оно верно, используя ключевое слово continue, мы пропускаем остальную часть цикла и возвращаемся к выражению expression3 ($i++), а затем к expression2 ($i:

<select name="dob_year">
<?php
$current_year = date('Y');
for($i=$current_year; $i <= $current_year+100;$i++ ){
echo '<option value="'.$i.'">'.$i.'</option>';
}
?>
</select>

Иногда нужно перенести данные из таблицы базы данных в массив с помощью PHP:

<?php
$table_data = array(
array('id' => 10001, 'name' => 'Ankur', 'country' => 'India'),
array('id' => 20002, 'name' => 'Joy', 'country' => 'USA'),
array('id' => 10003, 'name' => 'John', 'country' => 'UK'),
array('id' => 20001, 'name' => 'Steve', 'country' => 'France'),
);
?>
<table border="1">
<thead>
<tr>
<th>ID</th>
<th>Name</th>
<th>Country</th>
</tr>
</thead>
<?php
$count = count($table_data);
for ($i = 0; $i < $count; $i++) {
echo '<tr>'
. '<td>' . $table_data . '</td>'
. '<td>' . $table_data . '</td>'
. '<td>' . $table_data . '</td>'
. '</tr>';
}
?>
</table>

Приведенный выше код будет генерировать таблицу.

МЛМария Логутенкоавтор-переводчик статьи «PHP For Loop With Examples – PHP Loop Tutorial»

Лингвистические соответствия популяции I1

Большинство современных носителей гаплогруппы I1 говорят на германских языках,
являющихся ветвью индоевропейского языкового древа,
однако до культурно-языкового влияния R1a

данная гаплогруппа говорила на другом языке.

От догерманского субстрата в германских языках остались многочисленные пласты слов,
связанных с мореплаванием (sea, ship, sail; north, south, east, west),
военным делом (sword, helmet, bow),
и животноводством (lamb)
.

Распространенность по миру :

Итальянцы (жители Сардинии) — 42,3 %
Боснийцы — 42,0 %
Норвежцы — 40,3 %
Шведы — 40,0 %
Датчане — 38,7
Словенцы — 38,2 %
Сербы — 29,2 %
Русские (казаки) — 22,7 %
Украинцы — 21,9 %
Русские — 20,0 %
Белорусы — 19,0 %

Вопрос появления гаплогруппы в России остается открытым.
Возможны разные варианты — от потомков пленных шведов и германских колонистов
до ассимилированных славянами остготов, проживавших в Крыму с IV века н.э.

Как работает цикл for

В цикле for три переменные: , и .
Объявление счетчика происходит в самом начале и лишь раз. Обычно он инициализируется сразу после объявления.
Затем проверяется условие. Условие — булево выражение. То есть, возвращает или .
Если определяется как : • Выполняются инструкции внутри цикла.• После этого инициализируется — обычно изменяется значение этой переменной.• проверяется снова.• Процесс повторяется до тех пор, пока не будет определено как .
Если определится как , цикл завершается.

Пример 1. Итерации цикла for

Вывод:

Цикл for C#: итерация 1Цикл for C#: итерация 2Цикл for C#: итерация 3Цикл for C#: итерация 4Цикл for C#: итерация 5

В этой программе:

— ,
— ,
— ,

После запуска программы происходит следующее:

Объявляется и инициализируется переменная . Ей присваивается значение 1.
После этого проверяется условие .
Если проверка условия возвращает `true`, выполняется тело цикла. Оно печатает строку «Цикл for C#: итерация 1».
Затем определяется значение итератора (). Значение увеличивается до 2.
Условие () проверяется снова и значение увеличивается на 1. Первые 5 итераций условие цикла будет оцениваться как .
Когда значение станет равняться 6, условие оценится как . Следовательно, цикл завершится.

Пример 2. Вычисляем сумму первых n натуральных чисел

Вывод:

В этой программе объявляются две переменные — и . Их значения равны 0 и 5 соответственно. Значение счетчика в самом начале равно 1.

Внутри цикла значение переменной увеличивается на — . Цикл продолжается до тех пор, пока значение счетчика меньше или равно .

Давайте посмотрим, что происходит на каждой итерации цикла.

Изначально = 1, = 0 и = 5.

Происхождение мужского рода I1

Считается, что гаплогруппа I одна из древнейших в Еаропе гаплогрупп Y-ДНК.
В виде подвида I1, она распространилась в северной Европе после таяния последнего ледника
около 10 000–6 800 тому назад (Rootsi et al. 2005).
Предполагают, что гаплогруппа I1 была характерна для носителей первых после последнего ледника
культур северной Европы и сохраняется в сeверной Европе до сих пор (Rootsi et al. 2005: 135; Origins 2011).
Если справедливо, что гаплогруппа I1 появилась на севере Европы около 10 000 – 6 800 тому назад (ibid.),
то именно к этому периоду следует отнести появление одного из генетических предков тех,
кто впоследствии стал говорить на языке, который мы называем протогерманским. (Кузьменко Ю.К.)

Согласно другим исследованиям, гаплогруппа I1 идентифицируется по меньшей мере 15 уникальными мутациями,
что означает, что данная группа либо была совершенно изолирована в течение долгого периода
(что маловероятно), либо пережила серьёзное «бутылочное горлышко» в сравнительно недавнем времени.

Хотя первая мутация, отделившая I1 от I, могла произойти ещё 20 тысячелетий назад ,
все сегодняшние носители этой ДНК гаплогруппы происходят от одного мужчины, жившего не раньше, чем 5 тысячелетий назад.

Это вполне совпадает со временем прихода в Скандинавию индоевропейцев, которые, как предполагается,
уничтожали большую часть мужчин коренного населения или поставили их семьи в невыгодное демографическое положение.
Так что выглядит вполне правдоподобным, что это вторжение пережил лишь один род коренных скандинавов
(возможно, один мальчик), потомки которого в дальнейшем и составили гаплогруппу I1,
которая таким образом стала достоверной меткой скандинавского протогерманского этноса, складывавшегося в ту эпоху.

В период неолита, представители популяции I1 были частью развитой культуры Эртебеле (5300-3950 до н.э.)
и культуры воронковидных кубков — Funnelbeaker (4000-2700 до н.э.).
Затем наступает период культуры шнуровой керамики (3200-1800 до н.э.),
знаменующий приход индоевропейских народов R1a из украинских степей.

Массив и цикл for в PHP

С помощью PHP цикла for можно выполнять итерацию в массиве. Например, у нас есть массив, который содержит имена разных людей. Нам нужно вывести на экран все имена:

$names = array('Ankur', 'John', 'Joy');
$count = count($names);
for($counter=0;$counter<$count;$counter++){
print $names;
}

Также можно использовать многомерный массив в цикле for:

$names = array(
array('id' => 1, 'name' => 'Ankur'),
array('id' => 2, 'name' => 'Joe'),
array('id' => 3, 'name' => 'John'),
);
$count = count($names);
for ($counter = 0; $counter < $count; $counter++) {
print 'Name'.$names.' ID'.$names."n";
}

Последовательное соединение резисторов.

Давайте начнем с рассмотрения цепей, элементы которой соединены последовательно. И хоть мы и будем рассматривать только резисторы в качестве элементов цепи в данной статье, но правила, касающиеся напряжений и токов при разных соединениях, будут справедливы и для других элементов. Итак, первая цепь, которую мы будем разбирать выглядит следующим образом:

Здесь у нас классический случай последовательного соединения — два последовательно включенных резистора. Но не будем забегать вперед и рассчитывать общее сопротивление цепи, а для начала рассмотрим все напряжения и токи. Итак, первое правило заключается в том, что протекающие по всем проводникам токи при последовательном соединении равны между собой:

I = I_1 = I_2

А для определения общего напряжения при последовательном соединении, напряжения на отдельных элементах необходимо просуммировать:

U = U_1 + U_2

В то же время, по закону Ома для напряжений, сопротивлений и токов в данной цепи справедливы следующие соотношения:

U_1 = I_1R_1 = IR_1

U_2 = I_2R_2 = IR_2

Тогда для вычисления общего напряжения можно использовать следующее выражение:

U = U_1 + U_2 = IR_2 + IR_2 = I(R_1 + R_2)

Но для общего напряжения также справедлив закон Ома:

U = IR_0

Здесь R_0 — это общее сопротивление цепи, которое исходя из двух формул для общего напряжения равно:

R_0 = R_1 + R_2

Таким образом, при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений всех проводников.

Например, для следующей цепи:

Общее сопротивление будет равно:

R_0 = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 + R_9 + R_{10}

Количество элементов значения не имеет, правило, по которому мы определяем общее сопротивление, будет работать в любом случае. А если при последовательном соединении все сопротивления равны (R_1 = R_2 = … = R), то общее сопротивление цепи составит:

R_0 = nR

В данной формуле n равно количеству элементов. С последовательным соединением резисторов разобрались, логичным образом переходим к параллельному.

Вложенный цикл for

Можно использовать вложенный цикл for в PHP. Пример:

$metrix = array(
array(1, 2, 3),
array(2, 1, 3),
array(3, 2, 1),
);
$count = count($metrix);
for ($counter = 0; $counter < $count; $counter++) {
$c_count = count($metrix);
for ($child = 0; $child < $c_count; $child++) {
echo $metrix;
}
}

У нас есть многомерный массив, и мы используем два цикла for PHP для отображения значений его элементов.

При использовании вложенного цикла можно использовать выражение родительского цикла for в дочернем. Например:

for ($i = 1; $i <= 5; $i++) {
for ($j = 1; $j <= $i; $j++) {
echo "*";
}
echo "<br>";
}

Приведенная выше программа является одной из самых популярных для вывода символа * в форме прямоугольного треугольника.

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению $t\in $ поставлено в соответствие комплексное число $z=z(t)$, то говорят, что на отрезке  задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть $\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)$, тогда $z(t) = x(t)+iy(t)$. Функцию $z(t)$ можно рассматривать как вектор-функцию $z(t)=(x(t),y(t))$. Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции $z(t) = x(t) + iy(t)$ определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная $z'(t)$ существует, если существуют производные $x'(t)$ и $y'(t)$.

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции $e^{it}=\cos t+i\sin t$, получаем $(e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)$, то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции $e^{it}$ имеет такой же вид, как и для функции $e^{\alpha t}$, где $\alpha\in\mathbb{R}$.

Определим теперь показательную функцию $\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}$, где $\alpha,\beta$ — заданные действительные числа, $t$ — действительное переменное. Функция $f(t) = e^t$, где $t\in\mathbb{R}$, удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция $e^{i\beta t}$, где $\beta\in\mathbb{R}$, обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию $e^{(\alpha+i\beta)t}$ естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции $e^{\lambda t}$, где $\lambda=\alpha+i\beta$, правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции $z(t)=x(t)+iy(t)$ определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция $\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)$ такова, что $\omega'(t)=z(t)$, то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции $e^{(\alpha+i\beta)t}$ и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью в .

Инкремент в цикле for

Почти в каждом из приведенных выше примеров мы использовали выражение expression3, то есть последнее выражение в качестве инструкции инкремента. Также мы часто увеличивали значение на единицу во всех примерах, например, $i++ или $j++ и так далее. Но мы можем увеличивать счетчик в соответствии с нашими требованиями. Например, чтобы вывести все нечетные числа от 1 до 15, можно инициализировать цикл значением 1 и выполнять итерации до 15, увеличивая счетчик на 2:

for($counter = 1; $counter <=15;$counter=$counter+2){
print $counter.',';
}

Результатом работы приведенного выше кода будет «1,3,5,7,9,11,13,15». Здесь мы увеличиваем переменную счетчика на +2 с помощью выражения $counter=$counter+2.

Сложное выражение в цикле for

Можно написать три выражения в цикле for. Мы можем написать несколько операторов в каждом выражении в цикле for. Операторы нужно разделить запятой.

Рассмотрим пример предыдущего кода для вывода числа от 1 до 10. С помощью нескольких операторов в выражении можно написать код, приведенный ниже:

for($i=1; $i<=10; print $i . ',', $i++);

Здесь выражение expression3 – это print $i.’,’, $i++, которое объединяет два оператора, один – print $i. ‘,’, а второй – $ i++.

Выше приведен пример, в котором мы использовали несколько операторов в выражении expression3. Но также можно использовать несколько операторов в любом выражении. Например:

for($i=1, print 'Hi Loop is from Here'; $i<=10; print $i . ',', $i++);

Аналогично можно вывести все нечетные числа меньше 10 с помощью следующего кода:

for($i=1, print 'Hi Loop is from Here'; $i<=10; print $i . ',', $i=$i+2);

Цикл while в Python

Цикл while позволяет выполнять часть кода до тех пор, пока заданное условие не станет ложным. Он также известен как цикл с предварительной проверкой условия.

Его можно рассматривать как повторяющийся оператор . Когда мы не знаем количество итераций, цикл while является наиболее эффективным.

Синтаксис приведен ниже.

Здесь утверждения могут быть одним утверждением или группой утверждений. Выражение должно быть любым допустимым выражением Python, приводящим к или . Истиной является любое ненулевое значение, а ложью — .

Операторы управления циклом

Мы можем изменить обычную последовательность выполнения цикла while с помощью оператора управления циклом. Когда выполнение цикла while завершается, все автоматические объекты, определенные в этой области видимости, уничтожаются. Python предлагает следующие управляющие операторы для использования в цикле while.

1. Оператор continue — Когда встречается оператор , управление переходит в начало цикла. Давайте разберем следующий пример.

Вывод:

2. Оператор break — Когда встречается оператор , он выводит управление из цикла.

Пример:

Вывод:

3. Оператор pass — Оператор используется для объявления пустого цикла. Он также используется для определения пустого класса, функции и оператора управления. Давайте разберем следующий пример.

Вывод

Пример 1: Программа для печати от 1 до 10 с использованием цикла while

Вывод

Пример 2: Программа для печати таблицы заданных чисел.

Вывод

Бесконечный цикл while

Если условие, заданное в цикле while, никогда не станет ложным, то цикл while никогда не завершится, и он превратится в бесконечный цикл while.

Любое ненулевое значение в цикле указывает на всегда истинное состояние, в то время как ноль указывает на всегда ложное состояние. Такой подход полезен, если мы хотим, чтобы наша программа непрерывно выполнялась в цикле без каких-либо помех.

Пример 1

Вывод

Пример 2

Вывод

Использование else в цикле while

Python позволяет нам также использовать оператор с циклом . Блок выполняется, когда условие, заданное в операторе , становится ложным. Как и в случае с циклом , если цикл прервать с помощью оператора , то блок не будет выполнен, а будет выполнен оператор, присутствующий после блока . Оператор необязателен для использования с циклом . Рассмотрим следующий пример.

Вывод

В приведенном выше коде, когда встречается оператор , цикл останавливает свое выполнение и пропускает оператор .

Программа для печати чисел Фибоначчи до заданного предела

Комплексные числа — определение и основные понятия

Обычные числа представляют собой множество действительных чисел, для обозначения которых используют букву R. Каждое число из множества можно отметить на числовой прямой.

К действительным числам носят:

целые числа;
дроби;
иррациональные числа.

Каждая точка на числовой прямой характеризуется некоторым действительным числом. Комплексное число является двумерным числом и записано в виде:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

z = a + bi

Где а и b являются действительными числами, i представляет собой так называемую мнимую единицу.

Уравнение можно мысленно поделить на несколько частей:

a — действительная часть (Re z) комплексного числа z;
b — мнимая часть (Im z) комплексного числа z.

Следует отметить, что a + bi является единым числом, а не сложением. Места действительной и мнимой частей в уравнении можно менять:

z = bi + a

Мнимую единицу допускается переставлять:

z = a + ib

При таких операциях смысл выражения остается прежним. Однако стандартная запись комплексного числа имеет такой вид:

z = a + bi

Определение

Комплексным числом называют выражение a + bi, в котором а и b являются действительными числами, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2=-1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i записывают a. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Данное утверждение можно привести в виде геометрической интерпретации. Тогда комплексные числа изображают на комплексной плоскости.

С помощью R обозначаю множество действительных чисел. В случае, когда требуется обозначить множество комплексных чисел, принято использовать букву С. Наличие буквы С на чертеже говорит о том, что на нем представлена комплексная плоскость. Данная плоскость включает две оси:

Re z — является действительной осью;

Im z — представляет собой мнимую ось.

Правила оформления такого графика практически не отличаются от требований к чертежам для декартовой системы координат. По осям задают масштаб и отмечают:

ноль;
единицу для действительной оси;
мнимую единицу i для мнимо оси.

С помощью комплексной плоскости можно построить заданные комплексные числа:

$z_{1}=0$

$z_{2}=-3$

$z_{3}=2$

$z_{4}=i$

$z_{5}=-\sqrt{3}i$

$z_{6}=4i$

$z_{7}=2+3i$

$z_{8}=-4+i$

$z_{9}=-3-3i$

$z_{5}=-\sqrt{2}-i$

Можно рассмотреть следующие комплексные числа:

$z_{1}=0$

$z_{2}=-3$

$z_{3}=2$

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на данной оси расположены все числа с обычными свойствами. Можно сформулировать справедливое утверждение: множество действительных чисел R представляет собой подмножество множества комплексных чисел С.

Данные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых нулевая:

$z_{1}=0$

$z_{2}=-3$

$z_{3}=2$

Мнимые числа с нулевой действительностью, которые расположены на мнимой оси Im z:

$z_{4}=i$

$z_{5}=-\sqrt{3}i$

$z_{6}=4i$

Есть ряд чисел с ненулевыми действительной и мнимой частью:

$z_{7}=2+3i$

$z_{8}=-4+i$

$z_{9}=-3-3i$

$z_{5}=-\sqrt{2}-i$

Для их обозначения используют точки на комплексной плоскости. К таким точкам проводят радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы не принято чертить к числам, которые расположены на осях и сливаются с ними.

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где $a\neq 0$ — комплексное число, $n$ — натуральное число.

Если $z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}$, то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа $z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}$ различны, так как их аргументы $\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}$ различны и отличаются друг от друга меньше, чем на $2\pi$. Далее, $z_n = z_0$, так как $|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}$ и $\varphi_n=\varphi_0+2\pi$. Аналогично, $z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}$ и т. д.

Итак, при $a\neq 0$ уравнение \eqref{ref22} имеет ровно $n$ различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где $k=0,1,…,n-1$.

На комплексной плоскости точки $z_k\ (k=\overline{0,n-1})$ располагаются в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $\displaystyle \sqrt{\rho}$ с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения $z^4 = 1 + i$.

$\triangle$ Корни $z_k\ (k = \overline{0,3})$ этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где $\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}$, то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки $z_k$ располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). $\blacktriangle$

Как работает цикл for в PHP?

Чтобы понять, как работает цикл for, нам нужно понять эти три выражения. Выражение: expresison1 является первым, которое выполняется только один раз перед входом в цикл. Оно выполняется безоговорочно. Это значит, что первый раз перед входом в цикл выражение будет выполнено.

Expresison1 называется инициализирующим выражением, поскольку оно используется для инициализации счетчика, который используется в выражениях expression2 и expression3.

Expression2 (проверка условия) проверяется для того, чтобы определить разрешает ли условие выполнить инструкцию или нет. Первый раз оно запускается после expression1, затем — перед входом в цикл.

Обычно expression2 содержит условный оператор, чтобы проверить, возвращает ли условие true или false. Если условие вернет true, тогда будет выполняться оператор, написанный в цикле.

Expression3 выполняется в конце каждой итерации после оператора цикла. Обычно программисты называют его выражением инкремента. Оно используют это выражение для увеличения значения счетчика, который был инициализирован в expression1 и проанализирован в expression2.

Все три выражения не являются обязательными. Также можно создать PHP цикл, как показано ниже:

for(;;)
statement;

Или

for(;expression2;expression3)
statement;

Если у нас несколько строк в цикле for, используйте фигурные скобки, как показано ниже:

for(expression1;expression2;expression3){
statement1;
statement2;
statement3;
}

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число $z=x+iy$ изображается точкой плоскости с координатами $(x,y)$, и эта точка обозначается той же буквой $z$.

Такое соответствие между множеством $\mathbb{C}$ и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу $z\in\mathbb{C}$ соответствует одна точка плоскости с координатами $(x,y)$, и наоборот, каждой точке плоскости с координатами $(x,y)$ соответствует одно комплексное число $z=x+iy$. Поэтому слова “комплексное число” и “точка плоскости” часто употребляются как синонимы.

При этом действительные числа, то есть числа вида $x+0\cdot i$, изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, то есть числа вида $iy = 0 + iy$ — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. 31.1

На рис. 31.1 изображены точки $z,\ -z,\ \overline{z},\ -\overline{z}$. Отметим, что точки $z$ и $-z$ симметричны относительно точки $O$, а точки $z$ и $\overline{z}$ симметричны относительно действительной оси.

Геометрический смысл модуля комплексного числа.

Комплексное число $z=x+iy$ можно изображать вектором с началом в точке $O$ и концом в точке $z$. Этот вектор будем обозначать той же буквой $z$. Из рис. 31.1 или из формулы \eqref{ref4} видно, что длина вектора $z$ равна $|z|$ и справедливы неравенства $|x|\leq |z|,\ |y|\leq |z|$, то есть
$$
|Re\ z|\leq |z|,\quad |Im\ z|\leq |z|.\nonumber
$$

Рис. 31.2Рис. 31.3

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число $z_1+z_2$ изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов $z_1$ и $z_2$, а вектор $z_1-z_2$ можно построить как сумму векторов $z_1$ и $-z_2$. Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ равно длине вектора $z_1-z_2$, то есть равно $|z_1-z_2|$. Это же утверждение следует из равенства
$$
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\nonumber
$$
Итак, $|z_1-z_2|$ — расстояние между точками $z_1$ и $z_2$.

Пример 2.

Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

$|z-z_0| = R,\ R > 0$;
$1 < |z-1| < 2$;
$|z-i| = |z + i|$.

$\triangle$ Условию $z-z_0=R$, где $R > 0$, $z_0$ — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки $z_0$ равно $R$, то есть точки, лежащие на окружности радиуса $R$ с центром в точке $z_0$.
Условию $|z-1| < 2$ удовлетворяют все точки, лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке $z = 1$, а условию $|z-1| > 1$ — точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке $z = 1$.
Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями $|z-1| = 1$ и $|z-1| = 2$ (рис. 31.3).
Условию $|z-i| = |z + i|$ удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек $i$ и $-i$, то есть все точки действительной оси. $\blacktriangle$

Покажем, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливы неравенства
$$
||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\label{ref10}
$$

$\circ$ Рассмотрим треугольник с вершинами $0,\ z_1$ и $z_1+z_2$ (рис. 31.2). Длины его сторон равны $|z_1|,\ |z_2|$ и $|z_1+z_2|$. Поэтому неравенства \eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. $\bullet$

Гаплогруппа I1b

Ограничивается крайне низкой частотой приблизительно в 1% среди славян и финно-угорских народностей Восточной Европы;
также обнаружена у одного ливанца.

Главная

Гаплогруппа R (Y-ДНК):
Субклад R1a |
Субклад R1b

Близкие по теме страницы:
Генетика |
Генеалогия |
Археология |
Глобальная этимология |

Карты

На правах рекламы (см.
условия):

Алфавитный перечень страниц:
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е (Ё) |
Ж |
З |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
О |
П |
Р |
С |
Т |
У |
Ф |
Х |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Э |
Ю |
Я |
0-9 |
A-Z (англ.)

Ключевые слова для поиска сведений по гаплогруппе I1 Y-ДНК:

На русском языке: Y-хромосомная гаплогруппа I1, догерманская популяция Y-ДНК;

На английском языке: Y-haplo-group I1.

«Сайт Игоря Гаршина», 2002, 2005.
Автор и владелец — Игорь Константинович Гаршин
(см. резюме).

Пишите письма
().

Страница обновлена 01.08.2018

Intel Rocket Lake (11 поколение) – неизбежное прощание с 14 нм

Премьера: март 2021 г.
Архитектура: Cypress Cove
Технологический процесс: 14 нм +++
Разъём: LGA 1200
Некоторые модели процессоров: Core i5-11400KF, Core i5-11600K, Core i7-11700, Core i9-11900

Серия Rocket Lake-S – это последняя разработка Intel в эпоху 14-нм процессоров. Наконец! – хочется кричать. Многие пользователи, включая меня, терпеливо ждали конца этой литографии настольных процессоров. Это оказались не стоящими обновления Intel Comet Lake-S. Скорее всего, согласитесь со мной, что надежды на большие изменения вызывали слухи и сплетни об Intel Alder Lake-S.

Серия Rocket Lake показалась нежелательной деткой, хотя это и не слабые процессоры. Они перешли на новую архитектуру – Cypress Cove, вариант Sunny Cove, известного по мобильным процессорам Ice Lake. Они соревновались с AMD Ryzen 5000 и вышли из этого столкновения, возможно, не невредимыми, но часто победившими. Между младшими моделями борьбы не было. Intel полностью исключила Core i3, как и «красные» Ryzen 3 в последней серии.

Хотя Intel Core i9 имел урезанное количество ядер и, следовательно, кэш L3, по сравнению с его аналогом из серии Comet Lake-S (8/16 вместо конфигурации 10/20), он компенсировал кое-чем другим. Intel Core 11-го поколения – это 19%-ное увеличение IPC (инструкций за такт) и более быстрый контроллер памяти (DDR4-3200), в котором Intel изменила механизм работы. Он усложнил жизнь, введя два режима: синхронный (Gear 1) и асинхронный (Gear 2, характеризующиеся снижением производительности).

Что ещё принесло «ракетное озеро»? Поддержка PCIe 4.0 (с 20 строками вместо 16) и инструкций AVX-512, а также графический чип предлагал лучшую производительность и поддержку HDMI 2.0 (HBR3), 10-битное кодирование AV1 и 12-битное HEVC. Вишенкой на торте стала поддержка метода Resizable BAR (ЦП имеет полный доступ к VRAM) и Intel Deep Learning Boost, который ускоряет вычисления, связанные с ИИ. Последняя особенность известна по (полупрофессиональным) процессорам Intel.

Несмотря на архитектурные изменения, пользователи материнских плат LGA 1200 могли легко переключиться на Rocket Lake-S (требовалось только обновление BIOS), и эта серия должна была стать последней, поддерживающей эту платформу Intel.

Это поколение, в целом, можно рассматривать как переходное. Энтузиасты ждали Intel Alder Lake-S, с нетерпением кусая ногти…

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

Расположениечисла z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественнаяполуось	x > 0 , y = 0	φ = 2kπ
	x > 0 , y > 0
Положительнаямнимаяполуось	x = 0 , y > 0
	x < 0 , y > 0
Отрицательнаявещественнаяполуось	x < 0 , y = 0	π	φ = π + 2kπ
	x < 0 , y < 0
Отрицательнаямнимаяполуось	x = 0 , y < 0
	x > 0 , y < 0

Расположениечисла z	Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x > 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположениечисла z
Знаки x и y	x > 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла z	Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла z
Знаки x и y	x < 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла z	Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x < 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Расположениечисла z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла z	Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры